Zahlenfolge

Eine Zahlenfolge, auch Folge genannt, ist in der Mathematik eine geordnete Liste von Zahlen, bei der jedes Glied durch eine Zuordnung a_n für jedes n aus den natürlichen Zahlen eindeutig festgelegt ist. Die Folge wird oft als (a_n)_{n∈N} geschrieben, wobei der erste Index n typischerweise bei 1 oder 0 beginnt. Die Definition kann direkt durch eine explizite Formel erfolgen, a_n = ..., oder rekursiv durch eine Regel, die das nächste Glied aus vorhergehenden Gliedern bestimmt.

Beispiele: Eine arithmetische Folge hat eine konstante Differenz d, a_n = a_1 + (n-1)d. Eine geometrische Folge hat ein konstantes Verhältnis r, a_n = a_1 r^{n-1}. Viele Folgen entstehen rekursiv; ein bekanntes Beispiel ist die Fibonacci-Folge mit a_1 = 1, a_2 = 1 und a_n = a_{n-1} + a_{n-2} für n≥3.

Konvergenz und Divergenz: Eine Folge konvergiert gegen einen Grenzwert L, wenn a_n → L für n → ∞. Andernfalls kann sie divergieren oder schwanken. Monotonie (a_{n+1} ≥ a_n oder a_{n+1} ≤ a_n) und Beschränktheit (existiert eine Schranke M mit |a_n| ≤ M) sind zentrale Eigenschaften; in den reellen Zahlen konvergiert jede monotone und beschränkte Folge gegen einen Grenzwert.

Teilfolgen: Aus einer Folge lassen sich Teilfolgen bilden; eine Folge kann verschiedene Grenzwerte haben oder keinen.

Anwendungen: Folgen dienen in der Analysis zur Definition von Grenzwerten, Reihen und Stetigkeit; sie finden sich auch in der Numerik, Zeitreihenanalyse und in Algorithmen.

Begrifflich: In der deutschen Mathematik wird der Begriff oft synonym mit „Sequenz“ verwendet; „Zahlenfolge“ betont, dass die Elemente Zahlen sind.