Wymierne

Wymierne to liczby, które można zapisać jako iloraz dwóch całkowitych a i b, przy czym b ≠ 0. Zbiorem wymiernych jest Q; zawiera liczby całkowite (b = 1) oraz ułamki w najprostszej postaci, dla których największy wspólny dzielnik a i b wynosi 1. Każdą wymierną można zapisać w postaci dziesiętnej skończonej lub okresowej.

Własności. Q jest dziedziną pierścienia Z i jest polem liczb wymiernych: jest zamknięty pod dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem (dla niezerowych). Zapis w postaci a/b i c/d daje wynik w postaci (ad+bc)/bd, a zapis w najprostszej postaci (gdzie gcd(a,b)=1) jest unikalny.

Porządek. Wymierne mają naturalny porządek wywodzący się z liczb całkowitych: jeśli zapisujemy liczby w postaci a/b i c/d z dodatnimi mianownikami, to a/b ≤ c/d wtedy ad ≤ bc.

Gęstość i przeliczalność. Zbiór wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych: między dowolnymi dwoma różnymi liczbami rzeczywistymi istnieje liczba wymierna. ZQ jest zbiorem przeliczalnym, co odróżnia go od zbioru liczb rzeczywistych, będących nierozliczalnym.

Zastosowania. Wymierne stanowią podstawę teorii liczb, analizy i algebry. Służą do konstrukcji pól liczbowych, przybliżeń liczbowych i representacji wielu pojęć w matematyce oraz naukach ścisłych.