Winkeldrehung

Winkeldrehung bezeichnet in der Geometrie eine Transformation, bei der ein Objekt oder eine Ebene durch einen vorgegebenen Winkel um eine feste Achse oder um den Ursprung rotiert. In zwei Dimensionen wird üblicherweise eine Drehung um den Ursprung beschrieben.

Mathematische Darstellung: In der Ebene R^2 ist eine Winkeldrehung mit dem Winkel θ die Abbildung fθ: (x, y) -> (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ). In homogenen Koordinaten lässt sich diese Transformation durch eine 3x3-Drehmatrix darstellen. Allgemein gilt: Drehungen bewahren Abstände und Winkel; sie sind ortstreu und orthogonal.

Eigenschaften und Struktur: Mehrere aufeinanderfolgende Winkeldrehungen addieren sich zu einer einzigen Drehung mit dem Gesamtwinkel θ1 + θ2. Die Menge aller Rotationen um den Ursprung bildet die Gruppe SO(2). In drei Dimensionen generalisiert sich das Konzept zu Rotationen um eine Achse, beschrieben durch Rotationsmatrizen in SO(3) oder durch Achsenwinkel-, Eulerwinkel- oder Quaternion-Darstellungen.

Verallgemeinerung und Repräsentationen: In der 3D-Geometrie ist eine Rotation durch eine Achse im Raum und einen Rotationswinkel gegeben. Rotationen lassen sich auch durch Quaternionen oder Eulerwinkel ausdrücken, was die Kombinationen von Drehungen effizienter macht.

Anwendungen: Winkeldrehungen spielen eine zentrale Rolle in der Computergrafik, Robotik, Geo- und Astronomie sowie in der Physik. Sie dienen zur Orientierung, Bildtransformationen, Simulationen und zur Beschreibung von Bewegungen.

Beispiel: Eine Drehung um π/2 (90 Grad) des Punktes (1, 0) ergibt (0, 1).