VlasovGleichungen

Die Vlasov-Gleichungen bezeichnen eine Familie von Gleichungen in der kinetischen Theorie, die die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Teilchensystems im Phasenraum beschreiben. Sie wurden nach Anatolij Vlasov benannt und beschreiben Systeme, in denen Kollisionen vernachlässigbar sind. Typischerweise wird die Verteilungsfunktion f_s(x, v, t) für jede Teilchenart s im Raum-Zeit-Velocities-Fach verwendet.

Für ein nichtrelativistisches, kollisionsfreies System gilt die Vlasov-Gleichung in der Form

∂f_s/∂t + v·∇_x f_s + a_s(x, t)·∇_v f_s = 0,

wobei a_s die Beschleunigung des Teilchensart s ist, also a_s = F_s/m_s. Die Kraft F_s ergibt sich aus einem gemeinsamen Feld, etwa dem elektroskopischen Feld E und dem Magnetfeld B in Plasmen (F_s = q_s[E + v×B]) oder dem Gravitationspotential Φ in gravitativen Systemen (F_s = -∇Φ).

Die Felder hängen wechselseitig von den Verteilungsfunktionen ab. Im Vlasov-Poisson-System besteht die Kopplung aus der Ladungs- bzw. Massenverteilung ρ(x, t) = ∑_s q_s ∫ f_s(x, v, t) dv bzw. ρ(x, t) = ∑_s m_s ∫ f_s(x, v, t) dv, und dem Feldgleichungssystem, das das Feld Φ bzw. E bzw. B bestimmt. Im Vlasov-Maxwell-System werden E und B durch Maxwell-Gleichungen mit Quellen ρ und dem Strom J = ∑_s q_s ∫ v f_s dv gekoppelt.

Zu den Hauptanwendungen gehören Plasmaphysik und Raum- bzw. Galaxien-Dynamik, wo Kollisionsprozesse vernachlässigt werden. Typische numerische Methoden umfassen Partikel-in-Zelle-Verfahren (PIC) und Euler-Gitter-Ansätze. Die Vlasov-Gleichungen beschreiben robuste Eigenschaften wie die Erhaltung der Phasenraumdichte (Liouville-Theorem) und die Advektion von Verteilungsmerkmalen entlang der Trajektorien des Feldes. Einschränkungen ergeben sich aus der Vernachlässigung echter Kollisionen, weshalb in manchen Situationen Kollisionsbegriffe ergänzt werden.