Verzameldepuntenset

Verzameldepuntenset is een topologisch concept dat de verzameling van alle accumulatiepunten van een verzameling A in een ruimte X aanduidt. Een punt x ∈ X is een accumulatiepunt van A als elke omgeving van x een element van A bevat dat niet gelijk is aan x. De verzameldepuntenset van A, genoteerd A', bestaat uit alle accumulatiepunten van A. In literatuur wordt ook wel gesproken van de afgeleide verzamelpuntenset of van limietpunten. De verzameldepuntenset A' is altijd een deel van de sluiting van A en de sluiting van A kan worden geschreven als closure(A) = A ∪ A'.

Eigenschappen: Als A uit een eindig aantal punten bestaat, dan is A' leeg. Voor oneindige verzamelingen kan A' leeg blijven, maar soms bevat het wel punten. In een metrische ruimte, zoals de reële getallen met de standaardtopologie, is x een accumulatiepunt van A precies als elke straal om x een oneindig aantal punten uit A bevat (met uitzondering van x zelf). In ruimten met andere topologie geldt hetzelfde principe.

Voorbeelden: A = {1/n : n ∈ ℕ} in ℝ heeft accumulatiepuntenset {0}. A = [0,1] heeft accumulatiepuntenset [0,1] (elke punt is een accumulatiepunt). A = {0} ∪ {1/n} heeft accumulatiepuntenset {0}. A = {1/n} zonder 0 heeft eveneens {0} als accumulatiepuntenset.

Toepassingen: De verzameldepuntenset speelt een centrale rol in de Cantor-Bendixson-derivatie, in de beschrijving van perfecte verzamelingen en in diverse concepten van convergentie en continuïteit in analyse en topologie.