Vektoreita

Vektoreita ovat suureita, joilla on sekä pituus että suunta. Geometrisesti ne esitetään nuolina, joiden pituus vastaa normia ja jonka päätepisteen sijainti määrittelee suunnan. Vektoreita käytetään kuvaamaan esimerkiksi nopeutta, voimaa tai siirtymää. Matematiikassa vektorit esitetään usein komponentteina koordinaatistossa ja ne voivat kuulua mihin tahansa n-ulotteiseen tilaan.

Jos vektorilla on n komponenttia, v=(v1, v2, ..., vn), se kuuluu R^n-tilaan. Pituus tai normi määritellään ||v|| = sqrt(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2). Nollavektori on kaikkien komponenttien nolla. Vektoreiden suunta ja pituus mahdollistavat etäisyyksien ja kulmien laskemisen.

Perusoperaatiot ovat vektoreiden yhteenlasku ja skalaaritulo. Kahden vektorin summa on (u1+v1, ..., un+vn). Skalaaritulo c·v muuttaa pituutta ja/tai suuntaa. Tärkeä ominaisuus on pistetulo u·v = ∑ ui vi, jonka avulla voidaan määrittää kulma ja ortogonaalisuus: u·v=0 tarkoittaa, että vektorit ovat kohtisuorassa. Normin ja pistetulon yhteydestä voidaan laskea ||v|| = sqrt(v·v).

Ristitulo (cross product) määritellään kolmessa ulottuvuudessa; sen tulos on vektori, joka on ortogonaalinen sekä u:lle että v:lle ja jonka pituus on |u×v| = ||u|| ||v|| sin θ. Vektorit muodostavat vektoritilan, jolla on basis ja dimensio. Tilan käsittelyyn liittyy lineaarinen riippuvuus ja itsenäisyys sekä standardin kaltainen basis, kuten R^3:n e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1).

Käyttö: vektoreita hyödynnetään laajalti fysiikassa, tietojenkäsittelytieteissä, koneoppimisessa ja grafiikassa. Niiden avulla kuvataan voimia ja nopeuksia, suoritetaan lineaarisia transformaatiota sekä analysoidaan dataa ja suunnitellaan visuaalisia ja teknisiä ratkaisuja.