ortogonaalinen

Ortogonaalinen on käsite matematiikassa, joka viittaa kahden vektorin tai funktioparin suhteeseen, jossa niiden sisätulo on nolla. Reaalisessa Euclidean-tilassa tämä tarkoittaa, että vektorit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Kahden vektorin x ja y ollessa ortogonaalisia niiden pistetulo ⟨x, y⟩ on 0.

Joukko vektoreita on ortogonaalinen, jos sen kaikki vektorit ovat pareja kohti toisiaan ortogonaalisia: ⟨vi, vj⟩ = 0, kun i ≠ j. Jos jokainen vektori on lisäksi yksikkö eli ||vi|| = 1, kyseessä on ortonormaali joukko. Ortogonaaliset ja ortonormaaliin perus koostumukset auttavat tilan todentamisessa, projekoinneissa ja koordinaattijärjestelmien luomisessa.

Ortogonaalinen lineaarinen muunnos on sellainen, joka säilyttää sisätulon: ⟨Tx, Ty⟩ = ⟨x, y⟩ kaikille x, y. Matriisimuunnoksessa tämä toteutuu, kun matriisi A täyttää A^T A = I, jolloin sen sarakkeet muodostavat ortonormaalian vektoreita. Tällaiset matriisit ovat myös invertible ja niiden käänteismatriisi on transpoosi: A^{-1} = A^T.

Monimutkaisessa tilassa (C^n) käytetään adjointia: inner product määritellään ⟨x, y⟩ = x^H y, jossa x^H on konjugointisela. Ortogonaalisuus määritellään vastaavasti conjugate-transponsin avulla; hyväkuntoiset ortogonaaliset järjestelmät ovat usein unitaarisia, jolloin Q^H Q = I.

Sovelluksia ovat muun muassa pienentäminen, least squares -ongelmien ratkominen, pääkomponenttianalyysi (PCA), gramma-Schmidt-ortogonalisointi sekä vastaavat prosessit data-analyysissä, tietokonegrafiikassa ja signaalinkäsittelyssä.