ortogonaalisuus

Ortogonaalisuus on käsite lineaarialgebrassa, joka kuvaa kahden vektorin välistä suhdetta sisätulon avulla. Kaksi ei-nollavektoria u ja v ovat ortogonaalisia, jos ⟨u, v⟩ = 0. Esimerkiksi todellisessa R^n:ssä standardi pistetulo on u·v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn, ja tällaiset vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli muodostavat 90 asteen kulman.

Yleisesti ortogonaalisuus määritellään sisätulon ⟨·,·⟩ avulla: u ja v ovat ortogonaalisia, kun ⟨u, v⟩ = 0. Kompleksisissa tiloissa käytetään konjugoitua sisätuloa, joten ortogonaalisuuden määritelmä on ⟨u, v⟩ = 0. Kun useampi vektori ovat keskenään ortogonaalisia ja jokaisen pituus on 1, ne muodostavat ortonormaaliin (olla sekä ortogonaalisia että yksikkömittoisia) järjestelmän.

Gram-Schmidt-prosessi on yleisesti käytetty menetelmä muuntaa antava lineaarisesti riippuva joukko ortonormaaliin joukkoon. Tämä mahdollistaa vektorien projektioiden ja hajotelmien yksinkertaistamisen.

Sovellukset ja ilmenemismuodot: ortogonaalisuutta käytetään komponenttien erottamiseen ja projektioihin, sekä least squares -menetelmissä, Fourier- ja Legendre-sarjoissa sekä pääkomponenttianalyysissä (PCA). Funktionaalisessa yhteydessä voidaan puhua ortogonaalisista funktioista, esimerkiksi integroiden ajalta tai tilavuudelta määritellyllä painotetulla sisätulolla: ∫ f(x)g(x)w(x) dx = 0.

Ortogonaalisuus riippuu valitusta sisätulosta; vaihtamalla sisätuloa myös ortogonaalisuuden käsite muuttuu. Jokainen tilamäärä tarvitsee oman määritelmänsä, mutta idea pysyy: vektorit tai funktiot ovat ortogonaalisia, kun niiden välinen tulon nolla.