ortogonaalisuutta

Ortogonaalisuutta eli orthogonalitya kuvaa tilanne, jossa kahden vektorin sisätulo on nolla. Määritelmä on yleinen sisätulon tiloissa, kuten R^n:ssä käytettäessä pistetuloa, ja kaksi vektoria x ja y ovat ortogonaalisia, jos ⟨x,y⟩ = 0.

Ortogonaaliset ja ortonormaalit joukot. Joukko vektoreita on ortogonaalinen, jos jokaiselle eri vektorille vi ja vj pätee ⟨vi,vj⟩ = 0. Jos lisäksi jokaisen normi on 1 (||vi|| = 1), joukko on ortonormaali.

Ortogonaalisuuteen liittyy myös ortogonali komplementti. S⊥ on kaikkien vektoreiden joukko, jotka ovat ortogonaalisia jokaista S:n jäsentä vastaan. Finite- tai realisosassa dim(S) + dim(S⊥) = dim(V).

Ortogonaaliset matriisit. Matriisi Q on ortogonaalinen, jos Q^T Q = I. Tällaiset matriisit säilyttävät sisätulon ja normit, ja niiden käänteinen on Q^T. Ortogonaaliset muutoksetpitävät pituudet ja kulmat muuttamatta tilaa.

Gram–Schmidt-prosessi. Tämä menetelmä muuttaa minkä tahansa lineaarisesti riippumattoman joukon ortogonaaliseksi (ja lopulta ortonormaali) basisiksi. Projektiossa, kun Q:n sarakkeet ovat ortonormaaleja vektoreita qk, x̂ = ∑ ⟨x,qk⟩ qk. Jos käytössä on Q, jonka sarakkeet ovat qk, projektio P = Q Q^T ja x̂ = P x.

Sovellukset. Ortogonaalisuutta hyödynnetään least squares -menetelmissä, projektioissa, signaali- ja kuvankäsittelyssä sekä tilastotieteessä, erityisesti korrelaation vähentämisessä ja laskutoimitusten yleistettävyyden helpottamisessa. Esimerkkinä R^2:ssa vektorit (1,0) ja (0,1) ovat ortogonaalisia, kun taas (1,1) ei ole niiden kanssa ortogonaalinen.