projektioissa

Projektioissa tarkoittaa yleistä toimintaa, jossa pisteitä tai kohteita siirretään yhdestä tilasta toiseen projektioiden avulla. Käsite esiintyy matematiikassa, geometriassa ja sovelluksissa kuten tietokonegrafiikassa, geoinformatiikassa ja data-analyysissä. Projektioissa voidaan siirtää kolmiulotteisia kohteita kahdelleulotteiselle tasolle tai yleisemminkin projisoida koordinaatistoja alistettuun alijoukkoon, jolloin tilan rakenteet ja mitat muuttuvat.

Matemaattisesti projektiot ovat idempotentteja lineaarisia operejaareita P, joilla P^2 = P. Niiden kuvan on alijoukko W ja ydin on tilanjako V = W ⊕ Ker P. Yksinkertaisin esimerkki on ortogonaali projektiot, joissa projektio W:n suuntaan suoritetaan sisätuotteen kautta. Ortogonaalisen projektorin ominaisuuksiin kuuluu symmetrisyys ja se vastaa pienimmän etäisyyden säilyttämistä projektiossa. Mitoitus ja matriisikuvaukset antavat P:n, jonka kenttänä voi olla esimerkiksi R^n.

Eri projektiointitavat poikkeavat toisistaan. Keskusprojekointi (perspektiivinen projektio) projisoi pisteet katselukeskuksen kautta tasolle ja on keskeinen tietokonegrafiikassa sekä perspektiivissä, jossa etäisyydet vaikuttavat. Suoraviivaisessa projektiossa eli parallelissa/projisoivassa projektiossa säilyvät korkeus- tai etäisyysarvot tietyllä tavalla, mikä soveltuu teknisiin piirroksiin ja karttoihin.

Projektioissa on laajoja sovelluksia: grafiikka, tekniset piirustukset, GIS, tietojenkäsittelytiede sekä tilastollinen ulottuvuuden pienentäminen (esim. datan koordinaatistojen projisoinnit). Ne tarjoavat työkalun monimutkaisen tilan ymmärtämiseen ja ohjaavat havainnointia sekä analyysiä.