Ortogonaalisuuteen

Ortogonaalisuus, tai ortogonaalisuuteen liittyvä käsite, tarkoittaa kahden vektorin tai kaksiulotteisen tai korkeampaa ulottuvuuden alijoukon välisen suhteen periaatetta, jossa niiden sisätulo on nolla. Keskeinen esimerkki on Euclidean-tilan vektorit, joiden pistetulo on 0; tällöin vektorit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Yleisemmin ortogonaalisuus määritellään sisätulon avulla sivulleen.

Joukko vektoreita on ortogonaalinen, jos niiden välillä ⟨vi, vj⟩ = 0 kaikille i ≠ j. Jos lisäksi jokainen vektori on yksikkö, joukko on ortonormaali. Tällaisia basis- tai alijoukkoja käytetään monissa laskuissa, koska ne helpottavat komponenttien erottelua ja projektioita. Gram–Schmidtin prosessi voidaan käyttää antamaan mistä tahansa lineaarisesti riippumattomasta joukosta orthogonaalinen, tai vielä tarkemmin ortonormaali, perusjoukko.

Ortogonalisoidun alijoukon projektio on vektorisuuntauksen osa, joka kuuluu kyseiseen alijoukkoon ja jonka erottaminen nollakseen ympäröivästä tilasta tapahtuu siten, että erotus on kohtisuorasti kyseiseen alijoukkoon nähden. Ortogonaliset matriisit, kuten Q-tilavuus Q^T Q = I, säilyttävät pituudet ja sisätulon, ja niiden käänteinen on transponoituna.

Käytännön sovelluksia ovat muun muassa totuusarvoinen vähimmäisneliömenetelmä, QR-märittely, yksittäisten komponenttien hajottaminen signaaleista ja data-analyysissä PCA:n kaltaiset menetelmät, joissa pyritään saamaan tiedot esiintuodut ortogonaaliset suunnat. Funktionaalisessa analyysissä vektoreita tai funktioita voidaan luonnehtia ortogonaalisiksi sisätuloilla, kuten ∫ f(x)g(x) dx = 0 tietyllä eristetyllä välillä.

Ortogonaalisuus voi esiintyä sekä geometriassa että analyyttisissä rakenteissa, ja sen ymmärtäminen auttaa yksinkertaistamaan monimutkaisia laskutoimituksia sekä tulkitsemaan monimutkaisia järjestelmiä.