Vastaavuuksien

Vastaavuudet (vastaavuus) ovat suhteita kahden joukon välillä, joissa jokaiselle a ∈ A on määrätty vastine b ∈ B. Ne kuvaavat, miten alkioiden välillä muodostetaan yhteyksiä, esimerkiksi kartoituksia, käännöksiä tai muita vastaavuuksia eri järjestelmien välillä. Vastaavuudet voidaan tarkastella sekä relaatiotason että funktiotason rakenteina. Termiä käytetään yleisesti, ja genitive muotoa "vastaavuuksien" käytetään esimerkiksi sanonnassa vastaavuuksien kartoitus.

Relaatio ja funktio ovat kaksi tapaa kuvata vastaavuuksia. Relaatio on alijoukko A×B, eli joukko järjestetyneitä pareja. Funktio on erityinen vastaavuus, jossa jokaiselle a ∈ A on määritelty täsmälleen yksi b ∈ B. Funktio voi olla total (määritys koskee koko A:n) tai osittainen (jokaisella a:lla ei välttämättä ole vastinetta).

Erikoistapauksia ovat injektio, surjektio ja bijektio. Injektiossa eri A-alkioiden vastineet ovat erilaisia; surjektiossa jokaisella b ∈ B on jokin a ∈ A, joka vastaa siihen; bijektiossa näistä molemmat ominaisuudet toteutuvat. Osittaisia vastaavuuksia käsittelee usein käsite epätäydellinen funktio; kokonaiset, määritellyt kartoitukset voivat edelleen olla ei-inji- tai ei-surjektiivisia.

Vastaavuuksien käsite on keskeinen sekä matematiikassa että käytännön sovelluksissa. Matematiikassa ne kuvaavat rakenteellisia yhteyksiä ja isomorfioita; tietojenkäsittelyssä kartoitukset määrittelevät yhteyksiä kahden datamallin välillä. Kielitieteessä vastaavuudet kuvaavat sanojen ja ilmauksien vastineita kielestä toiseen, sekä käännös- että semanttisia yhteyksiä.

Esimerkki: A = {1,2,3}, B = {a,b}. Vastaavuus R = {(1,a),(2,a),(3,b)} on A:n ja B:n välinen relaatio; f on total funzione määritellyksi kartoitukseksi: f(1)=a, f(2)=a, f(3)=b.