isomorfioita

Isomorfioita ovat rakenteiden välillä olevia bijektioita, jotka säilyttävät rakenteen määrittelevät ominaisuudet. Kun tällainen bijektio on olemassa kahden rakenteen välillä, sanotaan että ne ovat isomorfisia. Isomorfian käsite on keskeinen, koska sen avulla voidaan sanoa kaksi kohdetta “samaksi” niiden rakenteen perusteella – vaikka ilmaisutavat olisivat erilaisia.

Erilaisilla matemaattisilla rakenteilla esiintyvät isomorfiat noudattavat samaa periaatetta. Joukkojen isomorfia on bijektio joukkojen välillä, eikä vaadi muita rakenteellisia säilytyksiä. Ryhmien isomorfia on bijektio f:G→H, joka säilyttää kertolaskun: f(xy)=f(x)f(y). Vektori- tai moduulirakenteiden isomorfia on bijektio, joka säilyttää sekä yhteenlaskun että skalaarikertomisen: f(u+v)=f(u)+f(v) ja f(a·u)=a·f(u). Renkaiden isomorfia säilyttää sekä plus- että kertolaskun. Graafien isomorfia on bijektio solmujen välillä, joka säilyttää naapuruston eli vierekkäisyydet.

Isomorfia muodostaa ekvivalenssirelaation: jos A on isomorfinen B ja B on isomorfinen C, niin A on isomorfinen C. Tämän seurauksena kohteet voidaan luokitella up to isomorphism -luokkiin. Isomorfiset rakenteet jakavat samat invarianssit, kuten kardinaliteetin joukkojen tapauksessa tai dimensio ja polynomiset invarianssit muun rakenteen tapauksessa.

Terminologia: automorfia on isomorfia, joka kartoittaa rakenteen itseensä. Automaorfian joukoilla on ryhmä rakennettu niiden komposiitiolla. Isomorfian käsite toimii yleisesti matemaattisten rakenteiden luokittelun ja ymmärtämisen keskeisenä työkaluna.