funktiotason

Funktiotason (gen. funktiotason) käsite viittaa joukkoon pisteitä, joilla tietyn funktion arvo on sama lukuarvo c. Tutkittavassa tapauksessa f: X → R, funktiotason L_c määritellään L_c = { x ∈ X | f(x) = c }. Kun X on R^n, funktiotasot ovat erilaisten tasojen leikkaamia kokoelmia pistevastineita, jotka kuvaavat, missä kohdissa funktio saa saman arvon.

Esimerkiksi funktio f(x, y) = x^2 + y^2 eiodota, että sen funktiotasot L_c muodostavat ympyröitä, joiden säde on sqrt(c) (c ≥ 0). Yhdellä kertoimella c = 0 saadaan piste (0,0). Tällaiset tasot voivat olla useita, osittain päällekkäisiä ja usein saavat kontuuriviivoiksi kutsuttuja kuvia, kun ne esitetään kahdessa ulottuvuudessa.

Ominaisuudet: jos f on jatkuva, kaikkien tasojen L_c arvo on suljettu joukko, koska {c} on suljettu joukko R:ssä ja f:n prekokoelma on suljettu, kun kuva on jatkuva. Funktiotason perhe kattaa kokonaisuuden X:stä, ja ne voivat muodostaa folioituneen rakenteen, joka kuvaa funktion käyttäytymistä eri arvoilla.

Sovellukset ja yhteydet: funktiotasojen käsite on olennainen kontuurikuvauksessa, optimoinnissa ja mallinnuksessa, missä halutaan nähdä alueiden tai pisteiden tasot, joilla funktio saa tietyn arvon. Ne liittyvät tiiviisti implisiittisiin funktioihin ja isokontuurien (level-set) menetelmiin, sekä kuvaavat potentiaali-, lämpö- tai korkeusjakaumia luonnossa ja tekniikassa.

Lisätietoja: kontuuriviivat, isokoontuurit, prekokoelma ja jatkuvuus ovat keskeisiä käsitteitä funktiotasojen ymmärtämisessä.

See also: kontuuriviivat, level set, prekokoelma, jatkuvuus, implicit surface.