Varmeledningsligningen

Varmeledningsligningen beskriver temperaturudbredelse i et materiale som følge af termisk konduktion. Den bruges til at modellere, hvordan varme flyder gennem faste stoffer og giver et matematisk ramme for temperaturfeltet over tid.

Til et homogent, isotropt medium uden varmekilder har den form ∂u/∂t = α ∇^2 u, hvor u(x,t) er temperaturen, og α er termisk diffusivitet. Termisk diffusivitet fås som α = κ/(ρ c), hvor κ er termisk ledningsevne, ρ er tæthed og c er specifik varmekapacitet. I tre dimensioner udvider operationen ∇^2 u til ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + ∂^2u/∂z^2. Hvis der er en indre varmekilde Q per volumenhed, ændres ligningen til ∂u/∂t = α ∇^2 u + Q/(ρ c). I én dimension bliver det ∂u/∂t = α ∂^2u/∂x^2.

Randbetingelser og initial tilstand spiller en central rolle: initialbetingelsen er u(x,0) = u0(x). Randbetingelser kan være Dirichlet (temperatur fastsat ved grænse), Neumann (varmetilførsel eller -udledning), eller Robin (konvektiv grænse). Ligningen sammen med disse betingelser udgør et tilbøjeligt problem for temperaturfeltet.

Ligningen kan løses analytisk i simple geometrier ved separation af variable eller Green-funktioner, og generelt med numeriske metoder som finite difference eller finite element. Anvendelser spænder fra bygnings- og elektronikdesign til materialebehandling og geotermi.

Historisk blev varmeledningsligningen formaliseret i Fourier’ værker om varmeledning i begyndelsen af 1800-tallet.