Unvollständigkeit

Unvollständigkeit bezeichnet das Fehlen von Vollständigkeit in einem System, Modell oder einer Beschreibung. In der Wissenschaft wird der Begriff in verschiedenen Kontexten verwendet: In der Mathematik und Logik bedeutet er oft, dass nicht alle relevanten Wahrheiten oder Fälle durch das System abgedeckt oder bewiesen sind. In der Informatik, der Statistik und der Philosophie wird Unvollständigkeit ebenfalls als Grenzlinie des Formalen oder des Wissens verstanden.

In der mathematischen Logik zeigen Gödel’sche Unvollständigkeitssätze, dass jede konsistente, rekursiv aufzählbare Theorie, die die Arithmetik ausdrücken kann, unvollständig ist: Es existieren wahre Aussagen, die innerhalb des Systems weder bewiesen noch widerlegt werden können. Damit ist das System begrenzt. Folglich gibt es in Bezug auf eine gegebene Theorie Aussagen, die unabhängig von ihr sind, also weder beweisbar noch deren Widerlegung möglich.

Beispiele aus der Praxis betreffen auch Unabhängigkeiten wie die Kontinuumshypothese von der ZFC-Theorie, sofern konsistente Grundlagen vorausgesetzt werden. Die Theorien bleiben dann wahrheitsfähig, aber nicht abschließend durch Beweise innerhalb der Theorie eindeutig festlegbar. In der Informatik gehört die Unvollständigkeit eng mit Unentscheidbarkeit zusammen: Es gibt Probleme, deren Entscheidung durch Algorithmus nicht allgemein möglich ist, wie das Halteproblem.

In der Statistik und Datenanalyse spricht man von Unvollständigkeit durch fehlende Daten. Hier versuchen Methoden wie Imputation oder Modelle mit fehlenden Daten, aus unvollständigen Informationen sinnvolle Schlüsse abzuleiten. Philosophisch wird Unvollständigkeit oft als Hinweis auf die Grenzen menschlichen Wissens und der Begründbarkeit verstanden; sie betont Fallibilismus und die eingeschränkte Reichweite formaler Systeme.