Unbegrenztheit

Unbegrenztheit bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft, unbegrenzt zu sein. Sie beschreibt das Fehlen einer endlichen oberen oder unteren Schranke für eine Menge, eine Funktion, eine Folge oder in einem metrischen Raum. Die spezifische Art der Unbegrenztheit hängt vom betrachteten Kontext ab.

Bei Mengen in geordneten Räumen bedeutet Unbegrenztheit, dass es zu jeder Schranke eine weitere Größe in der Menge gibt, die diese Schranke überschreitet. Eine Menge kann unbeschränkt nach oben, nach unten oder in beiden Richtungen sein. Ein klassisches Beispiel ist die Menge der natürlichen Zahlen, die in den reellen Zahlen nach oben unbegrenzt ist.

Für Funktionen bedeutet Unbegrenztheit, dass der Funktionswert- oder Funktionsbereich keine endliche Obergrenze besitzt. Ein Beispiel ist f(x)=x auf R, das für x→∞ unbegrenzt wächst. Eine Folge ist unbeschränkt, wenn der Betrag der Folgenglieder keine obere Schranke hat. In der Praxis wird Unbegrenztheit oft mit unendlicher Divergenz verbunden.

In der Topologie und Geometrie bedeutet Unbegrenztheit, dass sich Abstände oder Größen unbegrenzt vergrößern können. Unbeschränkte Mengen sind in der Regel nicht kompakt; im Raum R^n gilt nach dem Heine-Borel-Kriterium, dass Kompaktheit Boundedness plus Closedness erfordert.

Der Begriff stammt aus dem Deutschen, zusammengesetzt aus un- (Nicht) und Begrenztheit. Er wird in Analysis, Geometrie, Zahlentheorie und Philosophie verwendet, um das Gegenteil von Begrenztheit bzw. Beschränktheit zu benennen.