Typableitung

Typableitung ist kein fest etablierter Fachausdruck der Mathematik, sondern ein Begriff, der gelegentlich verwendet wird, um eine Ableitung zu beschreiben, die in Abhängigkeit von Typparametern oder typbasierten Strukturen definiert wird. In der Praxis tauchen ähnliche Konzepte in der Theorie differenzierbarer Programmierung, in der Typentheorie und in der Kategorie-Theorie auf. Ziel ist es, zu modellieren, wie sich Werte einer Typfamilie oder von Typ-Parametern ändern, wenn sich der zugrunde liegende Typ oder Parameter verändert, oder wie sich Ausdrücke linear approximieren lassen.

In der formalen Theorie erscheint das Konzept oft durch differential lambda-calculus oder durch Tangentialkategorien. Im differential lambda-calculus besitzt eine Funktion f: A → B eine Ableitung Df, die angibt, wie sich der Funktionswert ändert, wenn sich der Eingabewert um eine kleine Veränderung Δa ändert. Typischerweise wird Df in einer Weise modelliert, die eine lineare Approximation beschreibt, analog zur Ableitung in der klassischen Analysis, allerdings innerhalb des Typsystems.

In der Praxis findet man verwandte Ideen in differentiable programming und in automatisch-differentiation-Ansätzen, wo Typen und Funktionssignaturen dazu dienen, Differenzierbarkeit explizit zu machen. Die abstrakte Form der Ableitung wird in der Kategorie-Theorie durch das Konzept der Tangentenkategorien und den Tangentenfunktor T behandelt, der für Abbildungen passende lineare Veränderungsmodus-Informationen bereitstellt.

Zusammenfassend dient Typableitung als Oberbegriff für Ansätze, bei denen Ableitungen oder lineare Approximationen in Typ- oder Typfamilienstrukturen formalisiert werden, oft über differential lambda-calculus oder Tangentenkategorien. Verwandte Konzepte sind Differentiation, Differentiable Programming, Differential Lambda Calculus und Tangent Categories.