Trendfolgen

Trendfolgen sind Folgen von Zahlen, die über die Zeit eine systematische, nicht zufällige Veränderung zeigen. In der Zeitreihenanalyse werden sie oft als deterministische Trendkomponente modelliert, die zu einer Störung addiert wird. Eine gängige Form ist x_n = α n + β + ε_n, wobei α der Trendparam (Anstieg pro Schritt), β der Achsenabschnitt und ε_n eine stationäre oder ungeordnete Störung ist. In rein deterministischen Ausprägungen kann eine Trendfolge auch einfach eine monotone Zunahme sein.

Eigenschaften: Wenn der lineare Trend α ungleich null ist, dominiert er für große n den Verlauf der Folge. Die Differenz Δx_n = x_n − x_{n−1} nähert sich α an. Ist α = 0, spricht man von einem trendlosen Prozess; dann kann die Sequenz nach Entfernen eines deterministischen Terms stationär werden.

Beispiele: x_n = 2n + sin(n) hat einen linearen Trend mit Steigung 2. x_n = 5n ist ein reiner Trend. x_n = 3n + 4 + ε_n, wobei ε_n eine stationäre Störung ist, kombiniert Trend und Zufall.

Beziehung zu Trend-Stationarity und Difference-Stationarity: In der Zeitreihenanalyse wird untersucht, ob eine Sequenz durch Entfernen einer deterministischen Trendfunktion stationär wird (trend-stationary) oder ob durch Differenzieren eine stationäre Folge entsteht (difference-stationary). Typische Methoden sind Regression zur Trendabschätzung, Detrending oder Differenzieren.

Anwendungen: Trendfolgen treten in Wirtschafts- und Klimazeitreihen, Bevölkerungsprojektionen, Qualitätskontrollen und vielen anderen Feldern auf, wo langfristige Entwicklungen modelliert werden müssen.

Siehe auch: Zeitreihe, Stationarität, Trendabschätzung, Detrending, Regression.