Tilstandsmodeller

Tilstandsmodeller er matematiske representasjoner av et dynamisk system som beskriver systemets tilstand og hvordan denne tilstanden endres over tid. Modellen kobler inputfaktorer til tilstanden og til den observerbare outputen, slik at man kan forstå, simulere og kontrollere systemets oppførsel.

En vanlig form er et tilstandsrommodell. I kontinuerlig tid beskrives systemet ofte med dx/dt = f(x, u, t) og y = h(x, u, t), hvor x er tilstandsvektor, u er innsignaler og y er måleverdier. I diskret tid brukes x_{k+1} = f(x_k, u_k, t_k) og y_k = h(x_k, u_k, t_k). Tilstandsmodeller deles ofte inn i lineære, tidsinvariante (LTI) modeller og ikke-lineære modeller, samt deterministiske og stokastiske varianter (med støy).

Lineære, tidsinvariante modeller kan skrives som x' = Ax + Bu, y = Cx + Du i kontinuerlig tid, eller x_{k+1} = Ax_k + Bu_k, y_k = Cx_k + Du_k i diskret tid. Estimering og identifisering av tilstandsmodeller skjer ofte ved hjelp av Kalman-filteret og varianter for stokastiske systemer, eller ved deterministiske observere for rene modeller.

Viktige egenskaper inkluderer observability (evne til å estimere tilstanden fra utdata) og controllability (evne til å påvirke tilstanden via innsignaler), samt identifiability (mulighet til å estimere modellparametere). Tilstandsmodeller brukes i simulering, prediksjon og design av styringssystemer, samt sensorfusjon og signalbehandling, i områder som industri, robotikk, luftfart, økonomi og miljømodellering.

Tilstandsmodeller har røtter i reguleringsteknikk og signalbehandling, og har utviklet seg til et bredt verktøysett for analyser og beslutninger i komplekse systemer.