Kalmanfilteret

Kalmanfilteret er en rekursiv estimator som brukes til å bestemme tilstanden til et dynamisk system basert på en sekvens av målinger som inneholder støy. Det forutsetter at systemet kan beskrives av en lineær tilstandsmodell og at målingene er en linear funksjon av tilstanden, med tilhørende støy som antas å være mulig å modellere som gaussian.

Det lineære tilstandsmodellen kan skrives slik: x_k = F x_{k-1} + B u_{k-1} + w_k, der x_k er tilstanden ved tid k, F er overgangsmatrisen, u er kontrollvektor og w_k er prosessstøy med kovarians Q. Målingen er z_k = H x_k + v_k, der z_k er målingen, H er målingsmatrisen og v_k er målingsstøy med kovarians R. Begge støyene antas å være uavhengige og gaussiske.

Algoritmen består av to faser: forutinntak og oppdatering. I forutinntakssteget beregnes estimatet av neste tilstand og dens kovarians: x̂^{-}_k = F x̂_{k-1} + B u_{k-1}; P^{-}_k = F P_{k-1} F^T + Q. I oppdateringssteget beregnes Kalman-faktoren K_k = P^{-}_k H^T (H P^{-}_k H^T + R)^{-1, og den oppdaterte tilstanden og kovarians: x̂_k = x̂^{-}_k + K_k (z_k - H x̂^{-}_k); P_k = (I - K_k H) P^{-}_k.

Variantene inkluderer det ikke-lineære Kalmanfilteret (ekstern Kalman-filter, EKF) som lineariserer rundt nåværende estimate, og det usentede Kalmanfilteret (UKF) som bruker deterministiske prøver for å bedre håndtere ikke-linearitet.

Kalmanfilteret brukes blant annet i navigasjon og posisjonsbestemmelse, robotikk, økonomiske tidsserier og signalbehandling. Det krever riktig modellering og tuning av Q og R; manglende eller feiltolkede støyparametere kan påvirke nøyaktigheten eller føre til divergerende estimeringer. Historisk ble metoden presentert av Rudolf Kalman på 1960-tallet og har siden vært en av de mest brukte estimasjonsalgoritmene i sanntidsapplikasjoner.

---