Tangenttivektorien

Tangenttivektorien käsite liittyy differentielli geometriaan. Ne ovat pisteessä p sijaitsevia vektoreita, jotka muodostavat tangenttilavan T_pM differentiable-manifold M:n jonkin pistettä ympäröivässä tilassa. Tangenttivektorien käsite voidaan ymmärtää kahdesta näkökulmasta, jotka ovat matematiikassa equivalenced: derivationeina C∞(M)-funktioille sekä kurvien velocity-vektoreina.

Yksi määritelmä perustuu derivationeihin: tangenttivektori v on lineaarinen operaatio v:C∞(M)→R, joka täyttää Leibnizin säännön v(fg)=f(p)v(g)+g(p)v(f). Tämän määritelmän mukaan tangenttilavan elementti kuvaa p:n suuntaan tehtyä paikallista muutosta funktioissa. Toisaalta tangenttivektori voidaan nähdä kurvi γ:(-ε,ε)→M, missä γ(0)=p, ja v on kurvin velocity γ′(0) kurvin spektrissä. Näin eri kurvit, joilla on sama lähtöpiste ja sama derivaatta, määrittelevät saman tangenttivektorin.

Ominaisuudet: T_pM on reaalinen vektoritila, jonka dimensi on n = dim M. Koordinaatistossa x^1,…,x^n perustana tangenttilavalla on ∂/∂x^i|_p. Jokainen v∈T_pM voidaan kirjoittaa v=Σ_i v^i ∂/∂x^i|_p, jolloin v on sen koordinaattimuoto.

Tangopäätteet ja -kasat: kaikkien tangenttilavojen kokonaisuus muodostaa tangenttilavan tangentin joukon TM. On olemassa projektio π:TM→M, joka maps tuntuu p:M => p. Differentiaalin dφ_p: T_pM→T_{φ(p)}N toteuttaa käyrien ja mapin ketjusääntöjä.

Sovellukset: tangenttivektorit ovat keskeisiä, kun käsitellään vektorikenttiä, diffeomorfismeja, geodeettisia polkuja ja yleisiä marginaaleja kuten tangenttilavan rakennetta ja sen laskutapoja. Esimerkkinä R^n:n tapauksessa T_pR^n voidaan identifioida R^n, ja tangenttivektori vastaa nopeutta kurvasta γ(t) tällöin γ′(0)=v.