Subruimten

Een subruimte van een vectorruimte V over een veld F is een subset W van V dat zelf een vectorruimte is met dezelfde bewerkingen als V. Concreet voldoet W aan drie voorwaarden: de nulvector ligt in W, W is gesloten onder optelling, en W is gesloten onder scalaire vermenigvuldiging. Als aan deze voorwaarden is voldaan, wordt W een subruimte van V genoemd; anders niet.

Voorbeelden: in de vectorruimte R^n met de gebruikelijke optellingen en scalaire vermenigvuldiging is de span van een verzameling vectoren in R^n een subruimte van R^n. Een subruimte is bijvoorbeeld de verzameling van alle vectoren waarvan de laatste coördinaat nul is in R^3; ook een rechte lijn door de oorsprong in R^3 is een subruimte. In het algemeen is elke set van vectors opgespannen door een verzameling vectoren een subruimte.

Subruimten kunnen beschreven worden via hun basis: een basis van W is een minimale verzameling vectoren die W span, en de dimensie van W is het aantal vectoren in een basis. Daarnaast is de doorsnede van subruimten een subruimte en de som van subruimten is eveneens een subruimte. Bij lineaire transformaties tussen vectorruimten zijn het beeld (range) en de kernel (nulruimte) van de transformatie beide subruimten; ze spelen een centrale rol bij het begrijpen van oplossingen van lineaire systemen en de structuur van vectorruimten.