Stützfunktion

Stützfunktion, auch Unterstützungsfunktion genannt, ist ein Begriff der konvexen Analysis. Für eine nichtleere Teilmenge K eines reellen Vektorraums V ordnet sie dem Dualraum V* eine Funktion zu, die die maximale Auslenkung eines linearen Funktionals über K beschreibt. Formal definiert man h_K: V* → R ∪ {+∞} durch h_K(φ) = sup { φ(x) | x ∈ K }. Wenn K beschränkt oder kompakt ist, ist h_K endlich und stetig; im Allgemeinen kann h_K für manche φ auch +∞ sein.

Eigenschaften: Die Stützfunktion ist sublinear, das heißt h_K(αφ) = α h_K(φ) für alle α ≥ 0 und h_K(φ + ψ) ≤ h_K(φ) + h_K(ψ). Für konvexe K ergeben sich oft besonders nützliche Formulierungen und Dualitätsverbindungen. Falls K unbeschränkt ist, kann h_K(φ) für bestimmte φ unendlich sein.

Beispiele: Für eine Ball K = {x ∈ V : ||x|| ≤ r} ergibt sich h_K(φ) = r ||φ||*, wobei ||φ||* der Operatornorm von φ ist. In R^n mit der euklidischen Norm entspricht h_K(p) = r ||p||_2. Bei einer Geradensegment K = [a,b] gilt h_K(p) = max{ p·a, p·b }.

Beziehung zu Polar und Dualität: Die Polarmenge K° = { φ ∈ V* : h_K(φ) ≤ 1 } ist eng mit der Stützfunktion verbunden. Zudem entspricht die Stützfunktion dem Konjugaten der Indikatorfunktion δ_K von K, d. h_K(φ) = δ_K*(φ). In der Optimierung und Geometrie dient sie daher zur Beschreibung von Unterstützungsgeraden, Dualformen und Charakterisierungen von konvexen Körpern.

Anwendungen: Stützfunktionen werden in der Dualitätstheorie der konvexen Optimierung, in der Berechnung von Unterstützungsflächen und in der geometrischen Analyse konvexer Körper genutzt. Sie liefern eine kompakte Beschreibung der Orientierung und Ausdehnung einer Menge durch alle möglichen Richtungenvektoren.