Styrbarhet

Styrbarhet är ett centralt begrepp inom kontrollteori som beskriver ett systems förmåga att med hjälp av styrsignaler nå alla möjliga tillstånd från ett givet utgångsläge inom en begränsad tid. Begreppet används framför allt för dynamiska system som modelleras med differentialekvationer eller differenceekvationer. Styrbarhet är nära relaterat till observationbarhet, men skiljer sig genom att fokus ligger på hur tillståndet kan påverkas av ingångarna medan observationbarhet handlar om hur tillståndet kan avläsas från utsignaler. För icke-linjära system är definitionerna mer nyanserade och hanteras ofta med begrepp som lokal tillgänglighet och olika rörelseegenskapers villkor.

I linjära tidsinvarianta system skrivna som x' = Ax + Bu (kontinuerlig tid) eller x_{k+1} = Ax_k + Bu_k (diskret tid) finns Kalman-kriteriet. Systemet är styrbart om kontrollerbarhetsmatrisen C = [B AB A^2B … A^{n-1}B] har full rang n. Ett annat vanligt mått är styrbarhetsgrammian Wc = ∫_0^T e^{At} B B^T e^{A^T t} dt, som är positivt definierad för något T > 0. Med fullständig styrbarhet kan man vanligtvis placera de slutliga polerna via state feedback u = -Kx och därmed uppnå önskad dynamik.

I praktiken påverkar styrbarhet designen av aktuatorplacering, sensorer och kontrollalgoritmer. Om vissa tillstånd inte går att påverka med de givna ingångarna begränsas vad som kan uppnås. För icke-linjära system används ofta Lie-algebrarankvillkor för att avgöra lokal styrbarhet och små tids lokala manöverförmåga. Begränsningar i modellering, aktuatorers kapacitet och störningar påverkar alltid den faktiska styrbarheten.