styrbarheten

Styrbarheten, eller styrbarhet, är en egenskap hos dynamiska system som beskriver i vilken utsträckning systemets tillstånd kan påverkas och styras av en kontrollerbar ingång. I praktiken handlar det om möjligheten att föra systemet från ett godtyckligt initialt tillstånd till ett godtyckligt sluttillstånd inom en ändlig tidsram genom en lämpligt utformad styrsignal.

För linjära tidsinvarianta system beskrivet av x' = Ax + Bu är styrbarhet uppfylld om kontrollbarhetsmatrisen C = [B, AB, A^2B, ..., A^{n-1}B] har full rang n. Samma sak gäller i diskret tid med x_{k+1} = Ax_k + Bu_k. Ett motsvarande test är Kalman-kriteriet: rank(C) = n. Ett motsvarande PBH-test säger att systemet är styrbart om och endast om rank([λI - A, B]) = n för varje egenvärde λ av A.

I icke-linjära system används andra verktyg som Lie-brackets och Chow-Rashevskii-teorem; styrbarhet kan vara lokal eller småtidens styrbarhet.

Betydelse: Styrbarhet är grundläggande för reglerdesign, eftersom oförmåga att nå vissa tillstånd gör att reglerare inte kan uppnå önskat mål. Begreppet är släkt med stabilisering och observabilitet; styrbarhet och observabilitet är duala egenskaper under lämplig transponering av modellens ekvationer.

Exempel: Ett tvådimensionellt system x'1 = x2, x'2 = u; B = [0; 1], A = [0 1; 0 0]. Kontrollbarhetsmatrisen är [B AB] = [[0,1],[1,0]] och har full rang, vilket visar styrbarhet.