Stufenformen

Stufenformen sind standardisierte Darstellungen von Matrizen, die durch zeilenoperationen erreicht werden. In der linearen Algebra spricht man häufig von zwei verwandten Formen: der Zeilenstufenform (REF, row echelon form) und der reduzierten Zeilenstufenform (RREF, reduced row echelon form). Beide Formen erleichtern das Lösen linearer Gleichungssysteme und das Bestimmen von Rang und Dimension.

Zeilenstufenform: Eine Matrix ist in Zeilenstufenform, wenn alle Nullzeilen am unteren Rand stehen, und der erste nicht-nulleintrag jeder Nicht-Nullzeile (das Pivot-Element) weiter rechts liegt als das Pivot der Zeile darüber. Zudem müssen alle Einträge unter einem Pivot null sein. In der REF dürfen Spalten mit Pivots zusätzlich weitere beliebige Einträge oberhalb des Pivot enthalten.

Reduzierte Zeilenstufenform: Sie erfüllt alle Eigenschaften der REF und zusätzlich ist jedes Pivot gleich 1 und die gesamte Pivot-Spalte ist die einzige von Nicht-Null-Einträgen in dieser Spalte. Damit ist die RREF eindeutig bestimmbar und gibt direkt die Lösung einer Gleichung an.

Erzeugung: Stufenformen erhält man durch elementare Zeilenoperationen (Vertauschen von Zeilen, Multiplizieren einer Zeile mit einer Nicht-Null-Konstante, Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen). Diese Operationen verändern die Lösungsmenge des Systems nicht und erhalten den Rang der Matrix.

Anwendungen: Sie dienen dem Lösen linearer Gleichungssysteme, dem Prüfen von Konsistenz, der Bestimmung der Anzahl von Lösungen, der Bestimmung von Rang, und der Bestimmung von Basisvektoren des Zeilen- und Nullraums.