Stellenwertsysteme

Stellenwertsysteme, auch Platzwert-Systeme genannt, sind Zahlensysteme, in denen der Wert einer Ziffer von ihrer Position abhängt. Sie bestehen aus einer Basis b und einer Ziffernmenge von 0 bis b−1; der Zahlenwert ergibt sich als Summe der Ziffern mal Potenzen der Basis.

Die Position rechts hat das Gewicht b^0, links steigende Potenzen von b. So ergibt sich der Wert einer Zahl durch die Summe der Ziffern multipliziert mit den entsprechenden Potenzen von b. Als Beispiel entspricht die Dezimalzahl 245 der Darstellung 2·10^2 + 4·10^1 + 5·10^0.

Wichtige Merkmale sind die Null als Platzhalter, die das Schreiben von Lücken ermöglicht, und damit die Idee der Stellenwertigkeit erst sinnvoll macht. Die Null hat eine zentrale Rolle in vielen Kulturen und der heute gebräuchliche Hindu-Arabische Zahlenkodex basiert auf dieser Prinzipienfolge.

Historisch entwickelten sich unterschiedliche Systeme. Antike Ziffernformen wie römische Ziffern sind nicht posi­tional; erst später entstanden posi­tionale Systeme, die heute weltweit verbreitet sind. Die dominante Basis ist 10 (Dezimalsystem), doch im Computerzeitalter hat Basis 2 eine zentrale Rolle. Weitere gebräuchliche Basen sind Basis 8 (Oktalsystem) und Basis 16 (Hexadezimalsystem), die besonders in der Informatik nützlich sind.

Arithmetic in Stellenwertsystemen beruht auf dem Prinzip des Tragens bzw. Übertrags. Umrechnungen zwischen Basen erfolgen durch wiederholtes Teilen bzw. Multiplizieren mit der Basis, und Brüche lassen sich durch negative Potenzen oder wiederholende Ziffern darstellen. Variationen umfassen gemischte Radixsysteme oder nicht ganz integer Basen, doch das Grundprinzip bleibt: Die Ziffern tragen in festen Positionen unterschiedliche Gewichte.