Spinstrukturen

Spinstrukturen sind eine zusätzliche Struktur auf einer orientierten glatten Mannigfaltigkeit M der Dimension n, die das Definition von Spinor-Feldern ermöglicht. Gegeben das orientierte Frame-Bundle F_SO(M) mit der Strukturgruppe SO(n) ist eine Spinstruktur eine Liftung dieses Strukturgruppens zu Spin(n), der zweifach-abdeckenden Gruppe von SO(n). Formal besteht eine Spinstruktur aus einem Spin(n)-Pri nzipalbundel P_spin über M und einer deckungsgleichen Abbildung λ: P_spin → F_SO(M), so dass λ(p·g) = λ(p)·φ(g) gilt, wobei φ: Spin(n) → SO(n) die zweifach-abdeckende Homomorphie ist. Dann dient P_spin als Spinstruktur von M.

Existenz und Klassifizierung: Eine Spinstruktur existiert genau dann, wenn die zweite Stiefel-Weinstein-Klasse w2(TM) des Tangentialbündels TM vanisiert. Falls vorhanden, ist die Menge aller Spinstrukturen eine Torsor über H^1(M; Z/2Z); das heißt, verschiedene Spinstrukturen unterscheiden sich durch Klassen in diesem Koeffizientenring, ohne einen bevorzugten Nullpunkt.

Spinorbundel und Diracoperator: Aus einer Spinstruktur lässt sich der Spinorbund S = P_spin ×_Spin(n) Σ konstruieren, wobei Σ die fundamentale Spinorrepräsentation ist. Sektionen von S nennt man Spinor-Felder. Auf diesen Feldern definiert der Diracoperator D einen ersten Ordnung elliptischen Operator, dessen Analyselfekte (Index, Spektraltheorie) zentrale Informationen liefern. Für eine gegebene Riemannsche Metrik erhält man zusätzlich eine natürliche Verbindung, und die Spinstruktur wird oft im Kontext von Spin-Mannigfaltigkeiten behandelt.

Beispiele und Topologie: Viele orientierte Mannigfaltigkeiten tragen Spinstrukturen, z. B. alle orientierten Flächen sowie S^n (n ≥ 3) oder T^n. Nicht alle orientierten Mannigfaltigkeiten besitzen eine Spinstruktur; der entscheidende Primeingang bleibt w2(TM). Die Gesamtheit der Spinstrukturen bildet einen H^1(M; Z/2Z)-Torsor.