Slumpvandringar

Slumpvandringar är stokastiska processer där en partikel tar ett steg i slumpmässig riktning vid varje tidssteg. Den enklaste modellen är den en-dimensionella enkla slumpvandringen på heltal: start vid 0, varje steg flyttar positionen med +1 eller −1 med lika sannolikhet. Efter n steg betecknas positionen S_n. Denna modell används som en förenklad beskrivning av diffusionsprocesser samt för att illustrera hur sannolikhetsfördelningar utvecklas över tid.

Egenskaper: slumpvandringar är Markov-processer med oberoende, stationära steg. Den symmetriska modellen (p = 1/2) har förväntad position E[S_n] = 0 och varians Var[S_n] = n. I en dimension är slumpvandringen återvändbar: sannolikheten att nå varje punkt igen är 1. I högre dimensioner förändras detta beteende: i tre dimensioner finns en sannolikhet att aldrig återvända. Den centrala gränsvärdessatsen gör att S_n för stor n närmar sig en normalfördelning med medelvärde n(p−q) och varians n p q. Den kontinuerliga motsvarigheten är Brownsk rörelse.

Variationer och tillämpningar: slumpvandringar kan definieras på olika strukturer, till exempel på nätverk eller i flera dimensioner och med olika stegfördelningar. De används inom fysik för diffusion, inom finans för prisrörelser på aktier, inom datavetenskap och algoritmer (slumpvandringar på grafer) samt inom ekologi och andra discipliner. Historiskt kopplas begreppet till Karl Pearson och början av 1900-talet.