Singuläriteter

Singuläriteter är punkter där en matematisk struktur uppvisar avvikande beteende från det vanliga lokala beteendet. Begreppet används inom flera områden, bland annat inom komplex analys, differentialgeometri och fysik. I varje sammanhang definierar man singularitetens natur med hjälp av lokala expansioner eller utvidgningar av objektet i fråga.

I komplex analys är en singularitet en punkt där en komplex funktion inte längre är analytisk, även om funktionen är definierad i en omgivning omkring punkten. Man talar om avlägsnad singularitet när funktionen kan utvidgas analytiskt till punkten. En pol uppträder när funktionen växer som en negativ potens av z−z0, och en väsentlig singularitet kännetecknas av ett oändligt antal negativa termer i Laurentserier. Egenskaperna för dessa typer följs av satsen om Laurentserier och Casorati–Weierstrass-satsen.

I algebraisk geometri uppträder singulariteter där en mångfald inte är smidig vid en punkt. Vanligen karaktäriseras de av att Jacobianen inte har full rank; tangentrummet vid punkten uppfyller inte förväntad dimension. Hantering av sådana punkter innefattar normalisering och upplösning av singulariteter, vilket syftar till att få en smidigare modell.

Inom fysik används termen singulariteter i sammanhang som rör rumtids- och kosmologiska scenarier, där kurvaturinvarianter divergerar eller där geodetisk fullständighet inte längre kan upprätthållas.

Sammanfattningsvis beskriver singulariteter specifika punkter där standardteoriernas lokala beteende upphör. De är centrala i flera grenar av matematik och teoretisk fysik och utgör ofta gränsen för vad som kan definieras eller beräknas med befintliga metoder.