Semigruppentheorie

Die Semigruppentheorie befasst sich mit algebraischen Strukturen, die aus einer nichtleeren Menge S und einer assoziativen Verknüpfung *: S × S → S bestehen. Eine Monoid ist eine Semigruppe mit einem Identitätselement e ∈ S, sodass e*a = a*e = a gilt. Gruppen, Monoid und Semigruppe unterscheiden sich durch Invertierbarkeit und das Vorhandensein eines Identitätselements. Die Semigruppentheorie untersucht grundlegende Eigenschaften, Konstruktionsmethoden und die Struktur von Semigruppen.

Beispiele und Grundkonstruktionen: Die natürlichen Zahlen unter Addition bilden ein Monoid mit der Null als Identität. Die Menge aller Wörter über einem Alphabet A, mit der Verkettung, bildet das freie Monoid A*. Die Menge aller nichtleeren Wörter bildet das freie Semigroup A+. Weitere Beispiele ergeben sich durch Matrizenverknüpfung oder Transformationen, die häufig in der Theorie der Automaten auftreten.

Substrukturen und Morphismen: Eine Untersemigruppe (oder Untersemigroup) ist eine nichtleere Teilmenge, die unter der Verknüpfung abgeschlossen ist. Homomorphismen φ: S → T erhalten die Struktur, das heißt φ(a*b) = φ(a)*φ(b). Kongruenzen sind Äquivalenzrelationen, die mit der Operation verträglich sind; die Quotientensemigruppe S/~ entsteht durch geeignete Vereinigungsklassen.

Green’sche Relationen: Die Relationen L, R, J, H und D ordnen Elemente nach dem Verhalten der von ihnen erzeugten linken, rechten bzw. beidenseitig betrachteten Ideale. Sie dienen der Strukturtheorie und ermöglichen Klassifikation innerhalb komplexerer Semigruppen.

Präsentationen und Anwendungen: Semigruppen können durch Generatoren und Relationen beschrieben werden (Präsentationen). Freie Semigruppen und Moniden bilden grundlegende Bausteine. Anwendungen finden sich in der Automata-Theorie (syntaktische Semigruppen regulärer Sprachen), in Transformationssemigruppen und in der algebraischen Semantik von Automaten.

Forschungsfelder: Zur Semigruppentheorie gehören Struktur- und Kategorientheorie, Semigruppen-Extensions, Rees-Faktorisierungen sowie spezielle Typen wie inverse Semigruppen und Null-Semigruppen.

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