Schauderbasen

Schauderbasen sind ein zentrales Konzept der Funktionsanalyse. In einem Banachraum X heißt eine Folge (x_n) von Vektoren in X eine Schauderbasis, wenn jedes x in X eindeutig als normkonvergente Reihenentwicklung geschrieben werden kann: x = sum_{n=1}^∞ a_n x_n, wobei die partiellen Summen S_N x = sum_{n=1}^N a_n x_n gegen x konvergieren. Die Koeffizienten a_n ergeben sich aus Koordinatenfunktionalen x_n^*: X → F, x_n^*(x) = a_n. Die Projektionen P_N defined durch P_N x = sum_{n=1}^N a_n x_n sind stetige(lineare) Operatoren und es gilt eine obere Schranke sup_N ||P_N|| < ∞; diese Konstante heißt Basis-Konstante.

Ein Schauderbasis ermöglicht eine eindeutige, kontinuierliche Koordinatenzerlegung jedes Elements. Falls zusätzlich Reihenunabhängigkeit (unbedingte Konvergenz) gilt, spricht man von einer unbedingten Schauderbasis. Monotone Basen erfüllen zusätzliche Normbedingungen, etwa ||P_N|| ≤ 1.

Beispiele und Bedeutung: In l_p(R) mit 1 ≤ p < ∞ ist die standardmäßige Basis e_n eine Schauderbasis. Auch das Haar-System bildet in L_p(0,1) (1 ≤ p < ∞) eine Schauderbasis. Im Gegensatz dazu ist eine Hamelbasis kein Schauderbasis, da dort nur endlich viele Vektor-Kombinationen erlaubt sind; Schauderbasen erlauben unendliche Reihen.

Existenz und Grenzen: Nicht jeder Banachraum besitzt eine Schauderbasis. Selbst unter den separablen Räumen existieren solche ohne Schauderbasis; dies wurde durch Konstruktionen von Enflo und späteren Arbeiten gezeigt. Schauderbasen ermöglichen sozusagen eine funktionalistische Koordinatenentwicklung statt einer rein algebraischen Basis.