Reihenentwicklung

Reihenentwicklung, in der Mathematik oft als Taylor- oder Maclaurin-Entwicklung bezeichnet, beschreibt die Darstellung einer Funktion als unendliche Potenzreihe um einen Festpunkt. Sie dient der lokalen Approximation der Funktion durch Polynome und der Analyse von Funktionsverhalten über die Koeffizienten der Reihe.

Sei f eine Funktion, deren Ableitungen bis unendlich in einer Umgebung von a existieren. Dann gilt, sofern die Reihe konvergiert, f(x) = Sum n=0 bis unendlich von f^{(n)}(a)/n! × (x-a)^n. Die Darstellung ist gültig innerhalb des Konvergenzbetrags R, dem Radius der Konvergenz. Die Funktion ist dann analytisch in dem Intervall, und R wird durch die Distanz zur nächsten Singularität im komplexen Extensionsbereich bestimmt.

Häufige Beispiele: Die Maclaurin-Reihen (a=0) für e^x, sin x, cos x; sowie die geometrische Reihe 1/(1-x) = Sum n=0 bis unendlich von x^n für |x|<1. Diese Reihen liefern einfache, prototypische Reihenentwicklungen für viele Funktionen.

Anwendungen und Eigenschaften: Durch das Truncieren der Reihe erhält man Taylorpolynome als polynomiale Näherungen. Der Fehler wird durch den Restterm abgegrenzt, oft in Lagrange-Form R_n(x) = f^{(n+1)}(ξ)/(n+1)! × (x-a)^{n+1} für ein ξ zwischen a und x. Reihenentwicklungen sind zentral in der numerischen Analysis, bei der Lösung von Differentialgleichungen und in der Physik in der Störungstheorie.