Sattelpunkte

Ein Sattelpunkt ist in der mehrdimensionalen Analysis ein kritischer Punkt einer Funktion f: R^n → R, an dem der Gradient ∇f(x*) = 0 gilt. Ein Sattelpunkt ist ein solcher kritischer Punkt, der kein lokales Maximum oder Minimum besitzt: In einigen Richtungen liegt f über dem Funktionswert f(x*), in anderen unter ihm; damit ähnelt er der Form eines Sattels, der in unterschiedliche Richtungen unterschiedliche Krümmungen aufweist.

Bei zweimal differenzierbaren Funktionen gibt die Hessian-Matrix H = D^2 f(x*) Aufschluss über die Lokalklassifikation. Ist H positiv definit, ist x* ein lokales Minimum; ist H negativ definiert, ein lokales Maximum. Ist H indefinit, besitzt es sowohl positive als auch negative Eigenwerte, und x* ist ein Sattelpunkt. Falls H semidefinit oder degeneriert ist, reicht der zweite Ableitungstest nicht aus, um eine eindeutige Klassifikation zu liefern.

Beispiel: f(x,y) = x^2 - y^2 hat am Punkt (0,0) einen Sattelpunkt, weil ∇f(0,0) = (0,0) und die Hessian-Matrix diag(2, -2) indefinit ist. Sattelpunkte treten häufig in der Optimierung auf, weil sie weder Minima noch Maxima sind, und sie können bei numerischen Verfahren zu Schwierigkeiten führen. Sie sind auch in der Geometrie von Funktionsflächen von Bedeutung, da sie dort Richtungen mit unterschiedlicher Krümmung kennzeichnen.