Sannsynlighetsteorien

Sannsynlighetsteorien er den matematiske studien av tilfeldighet og usikkerhet. Den gir et formelt språk for å beskrive hendelser med ulik sannsynlighet. Et sannsynlighetsrom består av Ω (utfallsrommet), en σ-algebra F av hendelser og et sannsynlighetsmål P. En tilfeldig variabel X kobler utfall i Ω til tallverdier, og fordeler beskriver sannsynligheten for ulike verdier.

Kolmogorovs aksiomer ligger til grunn: P(A) ≥ 0 for alle A i F; P(Ω) = 1; og for enhver tellbart disjunkt familie A1, A2, … i F gjelder P(∪k Ak) = ∑k P(Ak). Komplementet følger som P(A^c) = 1 − P(A). Disse aksiomene muliggjør all sannsynlighetsberegning.

Fordelinger kan være diskrete (binomial, Poisson, geometrisk) eller kontinuerlige (normal, uniform, eksponential). Forventning E[X] og varians Var(X) måler middelverdi og spredning; andre momenter beskriver skjevhet og kurtose. Fordelingsfunksjonen F(x) = P(X ≤ x) og tetthetsfunksjonen f(x) (for kontinuerlige variabler) gir praktiske beskrivelser av sannsynligheter.

Uavhengighet betyr at P(A ∩ B) = P(A)P(B) når A og B er uavhengige. Bayes’ teorem oppdaterer sannsynligheter ved ny informasjon: P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B). Viktige resultater inkluderer loven om store tall og den sentrale grenseverdien, som beskriver konvergens av summen av uavhengige identisk fordelte variabler mot en normalfordeling under passende forutsetninger.

Anvendelser og grener: sannsynlighetsteorien utgjør grunnlaget for statistikk, vitenskapelig metode, finans og maskinlæring. En viktig utvidelse er studiet av stokastiske prosesser, som Markov-kjeder og martingaler, som beskriver tidsutviklingen av tilfeldige systemer.