Riemannhypotesen

Riemannhypotesen är ett centralt olöst problem inom analytisk talteori. Den påstår att alla icke-triviala nollställen till Riemanns zeta-funktion har realdel lika med 1/2. Zeta-funktionen definieras för Re(s) > 1 som summan n^{-s} och har en analytisk fortsättning till hela det komplexa planet utom s = 1, där den har en enkel pole. Den har också trivila nollställen vid s = -2, -4, -6, … samt en funktionell ekvation som kopplar s till 1-s.

De icke-triviala nollställena ligger i det kritiska bandet 0 < Re(s) < 1. Enligt hypotesen ligger alla sådana nollställen exakt på den kritiska linjen Re(s) = 1/2. Dessa nollställen uppträder i komplexa konjugerade par och är symmetriska med avseende på såväl den verkliga axeln som den kritiska linjen.

En bekräftad RH skulle få djupgående konsekvenser för primtalsfördelningen. Den kopplar nollställena till distributionen av primtal genom explicita formler och ger skarpare felterm i primtalsfördelningen, till exempel pi(x) = Li(x) + O(x^{1/2} log x). Den skulle därigenom förbättra vår förståelse av hur primtal är fördelade längs det stora argumentet.

Status: RH är fortfarande olöst sedan 1859 och är ett av Millennium Prize Problems utlysta av Clay Mathematics Institute, med pris på en miljon dollar för ett korrekt bevis. Numeriska beräkningar har verifierat att mycket stora antal nollställen ligger på den kritiska linjen. Generaliserade versioner gäller Dirichlet L-funktioner (GRH).