Residualfunktion

Residualfunktion ist ein Begriff aus Mathematik, Statistik und Regelungstechnik. Sie bezeichnet allgemein eine Funktion, die die Diskrepanz zwischen beobachteten Größen und einer modellbasierten Vorhersage oder zwischen der linken und der rechten Seite einer Gleichung misst, sobald eine Näherungslösung eingesetzt wird. Die Residualfunktion dient damit als Maß für Abweichungen vom gewünschten oder exakten Zustand.

In der Statistik und Regressionsanalyse wird der Residualvektor definiert durch r_i = y_i − ŷ_i, wobei y_i der Beobachtungswert und ŷ_i der aus dem Modell vorhergesagte Wert ist. Residuen können als r(x) = y(x) − f(x; θ) geschrieben werden. Residualfunktionen werden genutzt, um Modellannahmen zu prüfen, etwa Homoskedastizität, Normalverteilung der Fehler und Unabhängigkeit. Typische Werkzeuge sind Residualplots sowie standardisierte oder studentisierte Residuen.

In der numerischen Mathematik und der Lösung von Differentialgleichungen dient die Residualfunktion dazu, wie gut eine angenäherte Lösung y_approx die Gleichung L[y] = g erfüllt. Sie lautet r(x) = L[y_approx](x) − g(x). Residualen werden in Fehlerabschätzungen, der Anpassung von Lösungen und Verfahren wie dem Newton-Kantorovich-Verfahren oder Kollokationsverfahren verwendet, um die Lösung schrittweise zu verbessern.

In der Regelungstechnik und der Fehlererkennung werden Residualfunktionen oft durch Residualgeneratoren erzeugt, die Abweichungen zwischen Messgröße und Modellausgabe liefern. Überschreitende Residuen können auf Störungen oder Anomalien hinweisen und dienen der automatischen Alarmierung.

Der Begriff ist kontextabhängig: In der Statistik bezieht er sich auf Abweichungen zwischen Beobachtungen und Modell, in der Numerik auf Diskrepanzen einer Näherungslösung, und in der Regelungstechnik auf Abweichungen zur Fehlererkennung. Allgemein helfen Residualfunktionen, die Passung eines Modells zu bewerten und Modelle zu verbessern.