Regelmäßigkeitstheorie

Regelmäßigkeitstheorie ist ein Teilgebiet der Analysis, das sich mit der Glattheit von Lösungen partieller Differentialgleichungen (PDE) und variationalen Problemen befasst. Sie fragt, unter welchen Bedingungen schwache oder verteilungsbasierte Lösungen tatsächlich differenzierbar sind oder sogar glatt werden, und wie die Eingabedaten die Regularität bestimmen.

Im Mittelpunkt stehen elliptische, parabolische und quasilineare bzw. nichtlineare Gleichungen. Bei elliptischen Problemen liefern Abschätzungen oft höhere Integrabilität und Differenzierbarkeit der Lösung. Wahrzeichen sind der De Giorgi–Nash–Moser-Satz, der unter nur beschränkten Koeffizienten Hölder-Stetigkeit sicherstellt, sowie Schauder-Abschätzungen, die bei glatten Koeffizienten höhere Ableitungen in Hölder-Klassen kontrollieren.

Parabolische Regelmäßigkeit befasst sich mit zeitabhängigen Gleichungen; hier zeigen Ergebnisse, dass Lösungen zeitlich und räumlich glatte Räume besitzen unter passenden Randbedingungen. In der nichtlinearen Regelmäßigkeit gab es bedeutende Entwicklungen für voll nonlinear PDEs sowie quasilineare elliptische und parabolische Probleme, zum Beispiel Krylov–Safonov-Schätzungen und die Theorie der Viskositätslösungen.

Methodisch basieren die Ergebnisse auf a priori Schätzungen, Bootstrapping, Energiemethoden, Campanato- und Morrey-Techniken sowie Werkzeugen der Funktionsraumtheorie und der Harmonik. Anwendungen finden sich in Geometrie, geometrischer Analysis, Physik, Materialwissenschaft und Ingenieurwesen.

Beispiele verdeutlichen: Die Laplace-Gleichung ∆u = f führt bei passenden Randbedingungen und f in geeigneten Klassen zu einer glatten Lösung; allgemein gilt: Je besser die Daten, desto stärker ist die Regularität der Lösung.

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