Randwahrscheinlichkeiten

Randwahrscheinlichkeiten bezeichnen die Wahrscheinlichkeit, Werte im Randbereich der Verteilung einer Zufallsvariable X zu beobachten. Üblicherweise unterscheidet man obere Randwahrscheinlichkeit P(X > t) und untere Randwahrscheinlichkeit P(X < t); bei symmetrischen Verteilungen ist auch die zweiseitige Randwahrscheinlichkeit P(|X| > t) von Interesse.

Für eine Verteilung mit Verteilungsfunktion F gilt P(X > t) = 1 − F(t) und P(X < t) = F(t). Die Randbereiche jenseits eines Schwellwerts t haben P(|X| > t) = 1 − [F(t) − F(−t)], sofern X stetig ist.

Die Überlebensfunktion S(x) = P(X > x) fasst die oberen Randwahrscheinlichkeiten zusammen. Randwahrscheinlichkeiten sind zentral in Hypothesentests, Konfidenzintervalle und Risikomessungen, da sie die Wahrscheinlichkeit von Extremereignissen quantifizieren.

Berechnungen erfolgen je nach Verteilung: für bekannte Verteilungen gibt es Tabellen oder geschlossene Formeln (z. B. Normalverteilung mit der Fehlerfunktion). Allgemein nutzt man numerische Integration, Monte-Carlo-Simulationen oder Große-Abweichungen-Abschätzungen wie Chernoff- oder Hoeffding-Bounds.

Anwendungen finden sich in Statistik, Qualitätssicherung, Finanzwesen (Tail-Risiken, Value-at-Risk VaR), Umwelt- und Risikoforschung sowie der Extremwerttheorie.

Hinweis: Randwahrscheinlichkeiten können numerisch instabil sein, wenn sie extrem klein sind, weshalb spezialisierte Techniken erforderlich sein können.