Randabbildungen

Randabbildungen bezeichnen in der algebraischen Topologie die Randoperatoren in Kettenkomplexen. Für jede Dimension n ist ∂_n eine Abbildung von C_n(X) nach C_{n-1}(X). C_n(X) ist der freie Abbildungsknoten, der von allen n‑Simplices von X erzeugt wird (im singulären Fall von allen singulären n‑Simplices Δ^n → X). Die Randabbildung ist ein Gruppen- bzw. Modulhomomorphismus und erfüllt die Eigenschaft ∂_{n-1} ∘ ∂_n = 0, das heißt der Rand eines Randes ist wieder null. Sie ist außerdem natürlich gegenüber stetigen Abbildungen f: X → Y, was die Bildung eines Chain-Komplexes ermöglicht und zentral für die Homologie-Theorie ist.

Formel und Beispiele: Für ein singuläres n‑Simplex σ: Δ^n → X gilt ∂_n σ = sum_{i=0}^n (-1)^i σ|[v_0,...,v_{i-1},v_{i+1},...,v_n], wobei die i-te Face von Δ^n als Einbettung eines (n−1)-Simplices verstanden wird. In der orientierten simplicialen Terminologie ergibt sich z. B. ∂([v0,v1]) = [v1] − [v0] und ∂([v0,v1,v2]) = [v1,v2] − [v0,v2] + [v0,v1].

Bedeutung: Randabbildungen ermöglichen die Unterscheidung von Zyklen (Z_n = Ker ∂_n) und Grenzen (B_n = Im ∂_{n+1}). Die Homologiegruppe H_n(X) = Z_n / B_n liefert topologische Invarianten von X. Randabbildungen sind Bestandteil des natürlichen Funktors der Homologie: Für eine stetige Abbildung f: X → Y induziert f eine Abbildung H_n(f): H_n(X) → H_n(Y). Sie spielen zudem eine zentrale Rolle in der Ausführung von Berechnungen in Bezug auf einfache topologische Räume.