Kettenkomplexen

Kettenkomplexe sind in der Algebra und Topologie eine algebraische Struktur, die eine Abfolge von Objekten C_n zusammen mit Abbildungen d_n: C_n → C_{n-1} enthält, so dass die Komposition zweier aufeinander folgender Abbildungen verschwindet. Formal gilt für alle n: d_{n-1} ∘ d_n = 0. Die Glieder C_n heißen Grade n, die Abbildungen D nennen die Differentiale. Kettenkomplexe werden typischerweise in einer abelschen Kategorie betrachtet, zum Beispiel in der Kategorie der abelschen Gruppen, der Modulkategorien über einem Ring oder der Vektorraumkategorien über einem Körper.

Die n-te Homologie eines Kettenkomplexes ist H_n(C) = Ker d_n / Im d_{n+1}. Homologie liefert invarianten Informationen über den Aufbau des Objekts und interpretiert Zyklen (Elemente mit d_n = 0) modulo Grenzen (Bilder von d_{n+1}). Abbildungen zwischen Kettenkomplexen, sogenannte Kettenabbildungen f: C → C', bestehen aus einer Familie von Morphismen f_n, die mit den Differentialsystemen verträglich sind (d'_n ∘ f_n = f_{n-1} ∘ d_n). Solche Abbildungen induzieren Morphismen zwischen den Homologien.

Beispiele umfassen den Singular-Kettenkomplex eines topologischen Raums X, dessen n-te Gruppe aus Freien Abbildungen von Mengen der Standard-N-Sphären besteht; den De-Rham-Komplex aus Differentialformen auf einer glatten Mannigfaltigkeit mit dem äußeren Differential d; sowie die simplicialen oder Morse-Kettenkomplexe. Kettenkomplexe sind zentrale Werkzeuge zur Definierung von Homologie-Theorien und dienen dazu, topologische oder algebraische Eigenschaften in invarianten Größen festzuhalten.

Varianten schließen Cochain-Komplexe ein, bei denen die Differentialsysteme in die Gegenrichtung laufen, sowie abstrakte Kettenkomplexe in verschiedenen abelschen Kategorien. In der Praxis ermöglichen sie die Konstruktion von Lang exakten Sequenzen, Funktoren auf Homologie und die Formulierung der Ableitungen in der Homologietheorie.