Modulkategorien

Modulkategorien sind Kategorien von Modulen über einem festen Ring R, üblicherweise als Mod_R oder R-Mod notiert. Objekte sind linke R-Module, Morphismen deren R-lineare Abbildungen. Mod_R ist eine abelsche Kategorie: Es gibt Nullobjekt, Kernel, cokernel, Bild und Ko-Bild; exakte Sequenzen gelten in Mod_R, und alle Limes sowie Kolimes existieren; direkte Summen und Produkte existieren ebenfalls. Freie Module R^n sind projektiv, daher besitzt Mod_R genügend Projektive und Injektive.

Zu den grundlegenden Funktoren gehört der Hom_R-M funktor: Für M, N in Mod_R ist Hom_R(M,N) eine abelsche Gruppe; der Vergessungsfunktor U: Mod_R → Ab entfernt die R-Struktur und ist exakt; Er besitzt eine linke Adjunktion F, der freie Modul-Funktor, A ↦ R ⊗_Z A, sodass Hom_R(R ⊗_Z A, M) natürlich isomorph zu Hom_Z(A, U(M)) ist. In Mod_R lässt sich zudem der Tensorprodukt-Konsum mit einem geeigneten Biprotokoll bilden.

Beispiele und Anwendungen: Mod_Z entspricht der Kategorie der abelschen Gruppen; für jedes Ring R erhält man die Kategorie der linken Mod_R. In der Geometrie dient Mod_R als algebraische Vorlage für affine Räume und quasi-koherente Sheaves; in der Darstellungstheorie spielen Modulkategorien zentrale Rollen, etwa Module über Gruppenalgebren oder Hecke-Algebren. Wenn R noethersch ist, ist die Unterkategorie der finitengen erzeugten Module eine abelsche Teilkategorie.

Hinweis: In der Kategorie-Theorie wird der Begriff Modulkategorie auch für Kategorien verwendet, die eine Action einer Monoidal-Kategorie besitzen; dieser Gebrauch unterscheidet sich vom oben beschriebenen Sinn der Kategorie der R-Moduln.