Kettenkomplexes

Kettenkomplexe, auch Chain-Komplexe genannt, sind in der Mathematik eine Folge von Objekten C_n in einer abelschen Kategorie (typisch Abelsche Gruppen oder Module) verbunden durch Abbildungen d_n: C_n → C_{n-1}, so dass d_{n-1} ∘ d_n = 0 für alle n. Die Abbildungen bilden damit ein komplexes Diagramm, in dem die Randabbildungen stets in die Zyklen der vorhergehenden Ebene fallen.

Die Homologie H_n(C_*) eines Kettenkomplexes ist definiert als H_n(C_*) = Ker d_n / Im d_{n+1}. Die Untergruppen Z_n = Ker d_n (Zyklen) und B_n = Im d_{n+1} (Ränder) erfüllen B_n ⊆ Z_n, und H_n ≅ Z_n / B_n misst die nicht durch Randabbildungen erfassten Zyklen.

Beispiele: Der Singular-Kettenkomplex eines topologischen Raums X hat C_n(X) als freigegebene Gruppe der Singulären Abbildungen Δ^n → X; die Abbildungen d_n ergeben sich aus den Gesichtsoperatoren. Für den Kreis S^1 gilt H_0(S^1) ≅ Z und H_1(S^1) ≅ Z.

Kettenkomplexe ermöglichen morphische Konstruktionen wie Kettenabbildungen f: C_* → D_*, bestehend aus einer Familie von Abbildungen f_n: C_n → D_n, die d'_n ∘ f_n = f_{n-1} ∘ d_n erfüllen. Zwei Kettenkomplexe können durch eine Kettenhomotopie verbunden sein; Homologie ist damit eine Homotopieinvariante, da homotop äquivalente Komplexe dieselbe Homologie haben.

Aus einer kurzen exakten Sequenz 0 → A_* → B_* → C_* → 0 folgt eine lange exakte Sequenz der Homologien; Kettenkomplexe liefern so eine robuste Struktur für Homologie Theorien. Sie bilden die Grundlage der Algebraischen Topologie, der abelschen Kategorien und der Theorie der abgeleiteten Funktoren.