Quantenstatistik

Quantenstatistik ist das Teilgebiet der Physik, das die statistischen Eigenschaften von Systemen aus identischen Quantenteilchen beschreibt. Zentral ist die Tatsache, dass Teilchen in der Quantenmechanik indistinguishable sind und dass die Wellenfunktion symmetrisch oder antisymmetrisch sein muss. Folglich unterscheiden sich Bosonen (ganzzahliger Spin) und Fermionen (halbzahliger Spin) grundlegend: Bosonen dürfen denselben Zustand mehrfach besetzen, Fermionen unterliegen dem Pauli-Ausschlussprinzip.

In der idealen Quantenstatistik ergeben sich charakteristische Verteilungen. Für nicht interagierende Teilchen gilt die Bose-Einstein-Verteilung n_i = 1/(e^{(ε_i-μ)/kT} - 1) für Bosonen und die Fermi-Dirac-Verteilung n_i = 1/(e^{(ε_i-μ)/kT} + 1) für Fermionen; der chemische Potential μ steuert die Teilchenzahl. Im Grenzfall kT ≫ ε_i−μ reduziert sich die Verteilung auf die Maxwell-Boltzmann-Verteilung.

Die Quantenstatistik wird oft im Großkanonischen Ensemble behandelt, das Temperatur T und chemisches Potential μ als zentrale Parameter verwendet und die Anzahl der Teilchen variiert. Relevante Konzepte sind Symmetrie der Many-Body-Wellenfunktion, Zweistellungsoperatoren und die Zweite Quantisierung mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren.

Wichtige Anwendungsfelder sind die Plancksche Schwarzkörperstrahlung, das Verhalten von Elektronen in Metallen als Fermi-Gas, Bose-Einstein-Kondensation bei extrem niedrigen Temperaturen sowie Phänomene wie Supraleitung und Superfluidität. Die Quantenstatistik liefert außerdem wichtige Grundlagen für das Verständnis von Sternenstrukturen, wie Neutronensternen, und von Quantenphaseübergängen.