Propositionsvariablen

Propositionsvariablen, im Englischen oft als propositional variables bezeichnet, sind die grundlegendsten Bausteine der Aussagenlogik. Sie repräsentieren einfache, unabhängige Aussagen, die entweder wahr oder falsch sein können. Typischerweise werden sie mit Kleinbuchstaben wie p, q oder r notiert. Eine Propositionsvariable trägt allein keinen Sinn außerhalb ihres Wahrheitswerts; der Sinn entsteht durch eine Belegung, die festlegt, ob sie wahr oder falsch ist.

Semantik: Eine Belegung (Belegung) ordnet jeder Variablen einen Wahrheitswert zu. Die Wahrheitswerte komplexer Formeln ergeben sich aus den Wahrheitsfunktionen der logischen Operatoren: Not, Und, Oder, Impliziert und Äquivalenz. Beispiel: p ∧ q ist genau dann wahr, wenn sowohl p als auch q wahr sind. Oft verwendet man Wahrheitstabellen, um die Auswertung von Formeln anschaulich zu zeigen.

Verwendung: Propositionsvariablen sind atomare Formeln, aus denen sich durch Verknüpfungen komplexe Formeln bildet. Sie spielen eine zentrale Rolle in Aufgaben wie dem Erfüllbarkeitsproblem (SAT) und in der Modellierung von digitalen Schaltungen. Literale sind Variablen oder ihre Negationen (z. B. p oder ¬p). In der konjunktiven Normalform bestehen Klauseln aus solchen Literalen, was die praktische Behandlung erleichtert.

Notation und Kontext: Die Menge der Propositionsvariablen kann endlich oder unendlich sein; sie bildet das Alphabet der Sprache der Aussagenlogik. In der Modelltheorie wird eine Belegung auch als Interpretation bezeichnet, die die Wahrheit der Formeln im jeweiligen Modell festlegt. Propositionsvariablen ermöglichen so die formale Analyse von Wahrheitswerten und logischen Beziehungen.