Projektioihin

Projektioihin viitataan yleisesti ilmiöihin, joissa kuvattaessa tai siirrettäessä pisteitä ja vektoreita yhdestä tilasta toiseen säilytetään tietyt ominaisuudet. Tässä käsittelemme erityisesti projektioita lineaariteoriassa ja geometriassa sekä niiden yleisiä sovelluksia. Projektio on tavallisesti lineaarinen map, P: V → V, joka toteuttaa P^2 = P. Tällöin kuvan im(P) on projektin lopullinen alijoukko ja ker(P) sen komplementti, jolloin V voidaan kirjoittaa suoraan V = im(P) ⊕ ker(P). Projektio voidaan tulkita palautumisena alijoukon suuntaan sekä erotuksena suhteessa alkuperäiseen tilaan.

Geometrisesti projektio on pisteen tai vektorin siirtäminen toiseen tilaan siten, että tuloksena saadaan tekijä, joka säilyttää tietyn alijoukon rakenteen. Orthogonaalinen projektio on erityinen projekio, jossa valittu tukialue on toistensa komplementti kohti toista tilaa ja jossa projektio minimoi etäisyyden kuvan ja alkuperäisen pisteen välillä. Oblique-projektioissa tilan ja sen komplementin välinen suhde ei vaadi ortogonaalisuutta, jolloin tuloksena voi olla erilainen, ei-optimaalinen, mutta käyttökelpoinen projektioviritys.

Perspektiivinen projektio on grafiikassa ja näytön kuvaamisessa keskeinen käsite, jossa 3D-koordinaatit projektioidaan 2D-tasolle kameran katselunäkökulmasta. Tämä projekio ei ole lineaarinen pelkässä Euclidean-tilassa vaan usein esitetään kertolaskuina homogeenisten koordinaattien kautta.

Sovelluksia projektioille on muun muassa least squares -menetelmissä, datan ulostulon ja rakenteen erottamisessa, signaalinkäsittelyssä sekä tietokonegrafiikassa 3D-olioiden piirtämisessä ja kuvantamisessa. Projektioiden käsite yhdistää geometrian, lineaarialgebran ja käytännön sovellukset eri tieteenaloilla.