Orthogonaalinen

Orthogonaalinen on käsite, joka viittaa kahden tai useamman vektorin tai muun rakenteen väliseen ortogonaalisuuteen. Matematiikassa kaksi vektoria v ja w ovat ortogonaalisia, jos niiden pistetulo on nolla: v·w = 0. Tämä määritelmä laajentuu yleisempiin sisäkkäisiin tiloihin, joissa sisätuote ⟨v,w⟩ antaa saman käsitteen. Kompleksisissa tiloissa käytetään konjugoitua pistetuloa: ⟨v,w⟩ = 0.

Ortogonaaliset ja ortonormaaleja joukkoja ovat joukot, joissa vi·vj = 0 kaikille erilleen i ≠ j. Kun jokainen v_i on yksikkö (||v_i|| = 1), joukko on ortonormaali. Orthogonaalinen matriisi A täyttää A^T A = I, jolloin sen sarakkeet (ja rivit) ovat keskenään ortogonaalisia ja se säilyttää vektorin pituuden sekä sisätilan.

Ominaisuudet: Ortogonaaliset vektorit ovat nollaa suurempia ja siten lineaarisesti riippumattomia. Ortogonaaliset projektio ovat laskettavissa helposti: jos {e_i} on ortonormaali perusta alijoukosta, jokainen vektori x voidaan esittää x = sum_i ⟨x, e_i⟩ e_i. Tämä mahdollistaa Gram–Schmidt -menetelmän, jolla saadaan ortonormaali perusta.

Sovelluksia: QR-dekompositio ja pienimmän neliön ratkaisut, signaalinkäsittely, tilastotiede (ortogonaaliset kontrastit), tietojenkäsittely ja tietokonegrafiikka.

Esimerkki: R^2:ssa e1 = (1,0) ja e2 = (0,1) ovat ortogonaalisia. Vektorit (1,2) ja (2,-1) ovat ortogonaalisia, koska 1·2 + 2·(-1) = 0. Orthogonaalinen on siten keskeinen käsite lineaarialgebrassa, geomeriassa ja käytännön laskennassa.

---