Potenzreihenentwicklung

Potenzreihenentwicklung bezeichnet die Darstellung einer Funktion durch eine Potenzreihe um einen festen Expansionpunkt x0. Formell: f(x) = sum_{n=0}^∞ a_n (x - x0)^n, wobei a_0 = f(x0) und a_n = f^{(n)}(x0)/n!. Die Potenzreihe wird direkt aus der Ableitung am Expansionpunkt abgeleitet. Eine Funktion, die unendlich oft differenzierbar und analytisch in einer Umgebung von x0 ist, besitzt eine solche Taylor- oder Potenzreihenentwicklung. Der Begriff Maclaurin-Reihe ist der Spezialfall x0 = 0.

Der Konvergenzradius R ist der größte Radius, in dem die Reihe konvergiert. Innerhalb des Kreises |x - x0| < R gilt die Gleichung f(x) = Summe der Potenzreihe; außerhalb dieses Kreises weicht die Summe gewöhnlich von f ab oder divergiert. Der Radius lässt sich über das Verhältnis der Koeffizienten bestimmen: R = 1 / limsup_{n→∞} |a_n|^{1/n} oder mittels Quotienten-Kriterium.

Beispiele: Die Exponentialfunktion e^x besitzt um 0 die Reihe e^x = sum_{n=0}^∞ x^n / n!. Die natürliche Logarithmusreihe ln(1+x) hat um x=0 die Form ln(1+x) = sum_{n=1}^∞ (-1)^{n+1} x^n / n für |x|<1.

Anwendungen der Potenzreihenentwicklung umfassen numerische Approximationen, analytische Fortsetzung, Lösung von Differentialgleichungen und die Untersuchung des Funktionsverhaltens in der Nähe des Expansionpunkts. Die Konvergenzverhalten hängt von der Funktion und dem Punkt ab; am Rand des Konvergenzradius kann die Reihe konvergieren, divergieren oder bedingt konvergieren. Potenzreihen helfen, lokale Eigenschaften von Funktionen zu verstehen und zu approximieren.