PosteriorWahrscheinlichkeiten

Posteriorwahrscheinlichkeiten bezeichnen in der Bayesschen Statistik die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen oder Parametern nach der Beobachtung von Daten. Sie ergeben sich aus der Bayes-Regel: P(θ|D) = [P(D|θ) P(θ)] / P(D). Hier ist P(θ|D) die Posteriorverteilung (für einen Parameter θ) oder allgemein die Posteriorwahrscheinlichkeit einer Hypothese, P(D|θ) die Likelihood, P(θ) die Priorverteilung und P(D) die Evidenz, die als Normierungskonstante dient.

Für diskrete Parameter oder Hypothesen lässt sich P(D) als Summe oder für kontinuierliche Parameter als Integral ausdrücken: P(D) = ∑θ P(D|θ) P(θ) bzw. P(D) = ∫ P(D|θ) P(θ) dθ. Die Posteriorverteilung reflektiert damit die aktualisierten Überzeugungen nach dem Datensatz und ermöglicht Aussagen wie Erwartungswerte, Mediane oder glaubwürdige Intervalle (credible intervals).

Ein gängiges Beispiel ist die Beta-Binomial-Konjunktion: Bei einer Binomialbeobachtung mit einer prioren Beta(a, b) führt die Beobachtung von s Erfolgen und f Misserfolgen zu einer Posterior Beta(a+s, b+f). Damit lassen sich schätzungsweise Parameter zusammenfassend beschreiben oder Hypothesen vergleichen.

Anwendungen betreffen Parameterabschätzung, Vorhersagen und Modellvergleiche. Bei Hypothesen verhält sich die Posteriorwahrscheinlichkeit P(H|D) analog zu einer Wahrscheinlichkeit über Modelle; der Evidenzterm P(D) dient auch zur Gewichtung verschiedener Modelle.

Berechnungen erfolgen oft analytisch bei konjugaten Priors; ansonsten kommen numerische Methoden zum Einsatz, etwa Markov-Chain-Monte-Carlo, Importance Sampling oder Variationsinferenz. Prior und Modellannahmen beeinflussen die Posterior stark, weshalb Robustheitsanalysen sinnvoll sind.